Representación de Sistemas Dinámicos
Función de Transferencia
La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) relaciona la salida con la entrada en el dominio de Laplace.
Función de transferencia (
Donde:
: Función de transferencia. : Salida en el dominio de Laplace. : Entrada en el dominio de Laplace. : Numerador (polinomio de las entradas). : Denominador (polinomio característico del sistema).
Ecuación Diferencial y Modelo en Espacio de Estados
Ecuación diferencial
Representación en espacio de estados
Donde:
: Vector de estado. : Matriz de sistema (estado). : Matriz de entrada. : Matriz de salida. : Matriz de retroalimentación directa.
Estabilidad de Sistemas
Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz
Un sistema es estable si todas las raíces del polinomio característico tienen parte real negativa.
Condición de estabilidad
Para un sistema con el polinomio característico:
El criterio de Routh-Hurwitz establece que todos los coeficientes del primer renglón de la tabla de Routh deben tener el mismo signo.
Criterio de Estabilidad de Nyquist
El criterio de Nyquist usa la respuesta en frecuencia para determinar la estabilidad de un sistema cerrado mediante la gráfica de Nyquist.
Sistemas de primer orden
Función de Transferencia General
La función de transferencia de un sistema de primer orden tiene la siguiente forma:
Donde:
: Función de transferencia : Ganancia estática del sistema : Constante de tiempo : Variable en el dominio de Laplace
Ecuación de Estado Espacio
La representación en estado-espacio de un sistema de primer orden se puede expresar como:
Donde:
: Derivada de la variable de estado : Entrada del sistema : Salida del sistema
Respuesta Temporal
Respuesta al Escalón Unitario
La respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden es:
Donde:
: Salida en el tiempo : Ganancia estática : Constante de tiempo : Tiempo
Tiempo de Subida (tr)
El tiempo de subida para un sistema de primer orden, definido como el tiempo que tarda la respuesta en ir del 10% al 90% de su valor final, es:
Tiempo de Establecimiento (ts)
El tiempo de establecimiento, definido como el tiempo que tarda el sistema en alcanzar y mantenerse dentro del 2% de su valor final, es:
Tiempo de Retardo (td)
El tiempo de retardo, definido como el tiempo que tarda la salida en alcanzar el 50% de su valor final, es:
Análisis de Estabilidad
Condiciones de Estabilidad
Un sistema de primer orden es estable si su constante de tiempo
Si
Error en Estado Estacionario
El error en estado estacionario para una entrada escalón unitario es:
Si
Análisis en Frecuencia
Respuesta en Frecuencia
La función de transferencia en el dominio de la frecuencia se obtiene sustituyendo
Donde:
: Frecuencia angular
Amplitud
La magnitud de la respuesta en frecuencia es:
Fase
El desfase en la respuesta en frecuencia es:
Sistemas de segundo orden
Función de Transferencia General
La función de transferencia de un sistema de segundo orden está dada por la siguiente ecuación:
Donde:
: Frecuencia natural no amortiguada : Factor de amortiguamiento : Variable en el dominio de Laplace
Parámetros del Sistema
Frecuencia Natural (
La frecuencia natural se refiere a la frecuencia a la cual el sistema oscila en ausencia de amortiguamiento:
Donde:
: Rigidez del sistema : Masa del sistema
Factor de Amortiguamiento (
El factor de amortiguamiento determina la tasa de decaimiento de las oscilaciones. Está dado por:
Donde:
: Coeficiente de amortiguamiento : Masa : Rigidez
Frecuencia Amortiguada (
La frecuencia amortiguada es la frecuencia a la que oscila un sistema subamortiguado:
Respuesta Temporal
Respuesta al Escalón Unitario
La respuesta temporal de un sistema de segundo orden a una entrada escalón depende del factor de amortiguamiento (
Sistema Subamortiguado (
La respuesta tiene forma oscilatoria y se describe como:
Sistema Críticamente Amortiguado (
El sistema no oscila y la respuesta es:
Sistema Sobreamortiguado (
El sistema tampoco oscila y la respuesta es:
Sobreimpulso Máximo (
El sobreimpulso máximo es la máxima desviación por encima del valor final en un sistema subamortiguado (
Tiempo de Pico (
El tiempo en el que ocurre el sobreimpulso máximo es:
Tiempo de Establecimiento (
El tiempo que tarda la respuesta en permanecer dentro de un cierto porcentaje del valor final (generalmente el 2% o el 5%) es:
Tiempo de Subida (
El tiempo que tarda la respuesta en ir del 0% al 100% del valor final para sistemas subamortiguados es aproximadamente:
Análisis de Estabilidad
Polos del Sistema
Los polos del sistema de segundo orden son las raíces del denominador de la función de transferencia:
Tipos de Polos:
- Subamortiguado (
): Polos complejos conjugados. - Críticamente Amortiguado (
): Polos reales iguales. - Sobreamortiguado (
): Polos reales distintos.
Criterios de Estabilidad
El sistema es estable si todos los polos tienen parte real negativa (
Análisis en Frecuencia
Respuesta en Frecuencia
La función de transferencia en el dominio de la frecuencia se obtiene sustituyendo
Amplitud
La magnitud de la respuesta en frecuencia es:
Fase
La fase de la respuesta en frecuencia es:
Frecuencia de Pico (
La frecuencia a la que ocurre el máximo valor de la magnitud es:
Controladores clásicos
Controlador Proporcional (P)
Los controladores más comunes son el controlador proporcional (P), el proporcional-integral (PI), y el proporcional-integral-derivativo (PID).
Ecuación
Donde:
: Ganancia proporcional. : Error entre la entrada y la salida.
Controlador Proporcional-Integral (PI)
Ecuación
Donde:
: Ganancia integral.
Controlador Proporcional-Integral-Derivativo (PID)
Ecuación
Donde:
: Ganancia derivativa.
Análisis en el Dominio de la Frecuencia
Ganancia y Fase
La respuesta en frecuencia describe el comportamiento de un sistema frente a entradas sinusoidales de diferentes frecuencias.
Ganancia (
Fase (
Diagramas de Bode
Los diagramas de Bode muestran la magnitud y la fase de la respuesta en frecuencia de un sistema.
Frecuencia de corte (donde la magnitud cae a
Donde
Margen de Ganancia y Margen de Fase
Margen de ganancia
La cantidad de ganancia que se puede aumentar antes de que el sistema se vuelva inestable.
Se mide en el cruce de fase
Margen de fase
El ángulo que se puede aumentar antes de que el sistema se vuelva inestable.
Se mide en el cruce de ganancia 0 dB.
Compensación
Compensador en Adelanto
Los compensadores se diseñan para mejorar el rendimiento del sistema, ya sea aumentando la estabilidad, mejorando el tiempo de respuesta o ajustando la respuesta en frecuencia.
Función de transferencia
Donde
Compensador en Atraso
Función de transferencia
Donde
Errores en Estado Estacionario
Coeficiente de error estático
Los errores en estado estacionario dependen del tipo de entrada y del tipo de sistema.
Error para entrada escalón (
Error para entrada rampa (
Error para entrada parabólica (
Donde:
: Coeficiente de error de posición. : Coeficiente de error de velocidad. : Coeficiente de error de aceleración.