Formulario geometría computacional

Vector 2D

Vector entre dos puntos 2D

Norma de un vector 2D

Distancia Euclídea entre dos puntos 2D

Para dos puntosyen un plano:

Distancia Manhattan 2D

Producto escalar 2D

Para dos vectoresy:

Distancia de un punto a una línea

Para un puntoy una línea representada por:

Vector 3D

Vector entre dos puntos 3D

Norma 3D

Distancia entre dos puntos 3D

En dos puntosy:

Producto escalar 3D

Para dos vectoresy:

Producto vectorial 3D

Para dos vectoresy:

El producto cruzado genera un vector perpendicular a los dos vectores dados, útil para cálculos de normales a superficies

Normalización de un vector

Un vector normalizado tiene magnitud 1 y se calcula dividiendo cada componente entre la magnitud del vector:

Importante para trabajar con direcciones en gráficos.

Ángulo entre dos vectores

Para dos vectoresy:

Perímetro de un Polígono

dondeson las longitudes de los lados.

O por sus coordenadas

Área de un Polígono

Para un polígono con vértices:

donde

Convexidad de un polígono

Un polígono es convexo si todos los ángulos internos son menores ao si no hay puntos que se puedan encontrar fuera del polígono al trazar una línea entre dos puntos cualesquiera del polígono.

Punto dentro de un polígono

Dado un polígonoy un punto, el algoritmo de cruces cuenta cuántas veces una línea proyectada desdehacia el infinito cruza los lados del polígono.

• Si el número de cruces es impar,está dentro del polígono
• Si es par, está fuera.

Traslación

Para un puntotrasladado por un vector:

Rotación

Para rotar un puntoalrededor del origen por un ángulo:

Escalado

Para escalar un puntocon factoresy:

Traslación

Rotación

Para un ángulo:

Escalado

Reflexión respecto a una Línea

Para reflejar un puntorespecto a una línea:

Escalado

Escalado No Uniforme

Rotación alrededor del eje

Rotación alrededor del eje

Rotación alrededor del eje:

Traslación

Rotación alrededor del eje X

Rotación alrededor del eje Y

Rotación alrededor del eje Z

Escalado

Proyección en Perspectiva

La proyección de un puntoen un plano de proyección a una distanciaes:

Proyección Ortográfica

Para una proyección ortográfica, las coordenadas se mantienen:

Transformación de perspectiva:

Dado un puntoen el espacio 3D, la proyección en un plano 2D puede calcularse como:

dondees la distancia del plano de proyección al origen.

Intersección entre una línea y un polígono

Para determinar la intersección entre una línea y un polígono (definido por sus vértices):

1. Iterar sobre cada lado del polígono. Para cada segmento del polígono, aplica el método de intersección entre líneas descrito anteriormente.

2. Si hay intersecciones, almacenar los puntos.

Intersección entre dos polígonos

Para determinar la intersección entre dos polígonos:

1. Realizar un algoritmo de “barrier” (barrera) o “sweep line”. Ordenar los segmentos de ambos polígonos en función de sus posiciones en el eje.

2. Iterar sobre los segmentos de ambos polígonos. Utilizar el método de intersección de líneas para cada par de segmentos.

3. Si hay intersecciones, registrar los puntos.

4. Usar un algoritmo de “polygon clipping” (recorte de polígonos) para encontrar la región resultante de la intersección, como el algoritmo de Sutherland-Hodgman o el algoritmo de Greiner-Hormann.

Algoritmo de Bresenham para Líneas

El algoritmo de Bresenham se emplea para trazar líneas en gráficos rasterizados.

Para un punto inicialy un punto final:

1. Calcular la diferenciay.
2. Establecer.
3. Iterar a través dedesdea:

• Si: Incrementary actualizar.
• Siempre actualizar.

Relleno de Polígonos

Algoritmo de Relleno de Escaneo (Scanline). Este algoritmo se utiliza para rellenar polígonos.

1. Ordenar los vértices del polígono por su coordenada y.
2. Para cada línea de escaneo (y constante), encontrar las intersecciones con los lados del polígono.
3. Dibujar entre los pares de intersecciones.

Antialiasing:

Métodos como el algoritmo de Xiaolin Wu para suavizar bordes.

Modelos poligonales

Un objeto 3D se define mediante un conjunto de vérticesy carasque conectan los vértices.

Representación de superficies

Superficies de Bézier, para una superficie cúbica de Bézier:

dondeson los polinomios de Bézier.

Renderizado Basado en Z-buffer

1. Inicializar un buffer de profundidad con valores máximos.
2. Para cada píxel, calcular la profundidad de los fragmentos y actualizar el buffer.
3. Dibujar solo el fragmento más cercano.

Sombreado Phong

Para calcular el color de un píxel:

donde:

• : intensidad final
• : coeficientes de reflexión ambiental, difusa y especular
• : intensidades de luz ambiental y de luz
• : vector de luz
• : normal a la superficie
• : vector reflejado
• : vector hacia la cámara
• : exponente especular