Formulario geometría analítica

Un punto en el plano se representa como, dondees la posición en el eje horizontal yes la posición en el eje vertical.

Distancia entre dos puntos en 2D

Dados dos puntosy, la distanciaentre ellos es:

En el sistema de coordenadas polares, un punto en el plano se representa como, donde:

• es la distancia desde el origen al punto (también conocido como radio o módulo).
• es el ángulo entre el eje positivoy la línea que conecta el origen con el punto, medido en sentido antihorario (en radianes o grados).

Fórmulas de conversión entre polares y cartesianas:

• De polares a cartesianas:

• De cartesianas a polares:

Un punto en el espacio tridimensional se representa como, dondees la posición en el eje perpendicular al plano.

Las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares en tres dimensiones. Un punto en este sistema se expresa como, donde:

• es la distancia desde el ejehasta el punto (el radio en el plano).
• es el ángulo en el planorespecto al eje positivo.
• es la altura del punto sobre el plano(la misma que en coordenadas cartesianas).

Fórmulas de conversión entre cilíndricas y cartesianas:

• De cilíndricas a cartesianas:

• De cartesianas a cilíndricas:

Las coordenadas esféricas se utilizan para describir puntos en el espacio tridimensional utilizando tres valores:, donde:

• es la distancia desde el origen hasta el punto (también conocida como radio o módulo).
• es el ángulo en el planomedido desde el eje positivo(similar al ángulo polar en coordenadas cilíndricas).
• es el ángulo entre el eje positivoy la línea que conecta el origen con el punto (llamado ángulo de inclinación o colatitud).

Fórmulas de conversión entre esféricas y cartesianas:

• De esféricas a cartesianas:

• De cartesianas a esféricas:

En gráficos por computadora, las coordenadas homogéneas se utilizan para manejar transformaciones de proyección de manera más eficiente.

2D Homogéneo

Un punto en coordenadas homogéneas se representa como. Para convertir de homogéneas a cartesiano:.

3D Homogéneo

Un punto en 3D homogéneo se representa como. Para convertirlo a coordenadas cartesianas:

Distancia entre dos puntos

La distanciaentre dos puntosyen el plano se calcula con la fórmula:

Punto medio

El punto mediode un segmento de línea que une los puntosyse encuentra usando:

Longitud de un segmento

La longitud de un segmento en el espacio tridimensional entre los puntosy:

Ecuación de la recta

La ecuación de la recta en forma pendiente-intersección es:

Donde:

• es la pendiente.
• es la intersección con el eje.

Ecuación general de la recta

La forma general de la ecuación de la recta es:

donde:

Pendiente de la recta

La pendienteentre dos puntosyse calcula como:

Ecuación de la recta dada su pendiente y un punto

Si se conoce la pendientey un punto, la ecuación de la recta es:

Ecuación dada por dos puntos

La ecuación de una línea en dos dimensiones dada por dos puntosyes:

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente,.

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1:

Ángulo entre dos rectas

Si las pendientes de dos rectas sony, el ánguloentre ellas se calcula usando:

Distancia de un punto a una línea (2D)

Para un puntoy una línea:

Distancia entre dos líneas paralelas

Para líneas paralelasy:

Ecuación de la recta en el espacio

La ecuación de la recta en el espacio tridimensional se puede expresar de varias maneras. Una forma común es utilizando el vector director. Si la recta pasa por un puntoy tiene un vector director, su ecuación se puede escribir como:

Donde:

• es un punto en la recta.
• es el punto inicial.
• es un parámetro.

Ecuación paramétrica de la recta

Las ecuaciones paramétricas de la recta se pueden escribir como:

Ecuación simétrica de la recta

La ecuación simétrica de la recta se expresa como:

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales:

Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si el producto punto de sus vectores directores es cero:

Ecuación del plano

La ecuación de un plano en el espacio tridimensional se puede expresar en su forma general como:

Donde:

• son las componentes del vector normal al plano.
• es un término constante.

Ecuación del plano dado un punto y un vector normal

Si se conoce un puntoen el plano y un vector normal, la ecuación del plano puede escribirse como:

Distancia de un punto a un plano

La distanciadesde un puntoa un planose calcula como:

Intersección de dos planos

La intersección de dos planos dados por las ecuacionesyes una recta que puede ser determinada resolviendo el sistema de ecuaciones.

Intersección de una recta y un plano

Para encontrar la intersección de una recta y un plano, se pueden sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano. Sies el parámetro de la recta, se sustituye:

Esto se puede resolver paray, posteriormente, encontrar las coordenadas de la intersección.

Ángulo entre dos planos

El ánguloentre dos planos puede calcularse utilizando los vectores normales de los planosy:

Dondees la norma del vector normal.

Área del paralelogramo

El áreade un paralelogramo definido por dos vectoresyen el espacio tridimensional se calcula como:

Dondedenota el producto cruzado de los vectores.

Ecuación de la circunferencia

La ecuación de una circunferencia con centro eny radioes:

Ecuación de la elipse

La ecuación de una elipse con centro en, semi-ejesyes:

Ecuación de la hipérbola

La ecuación de una hipérbola con centro enes:

Ecuación de la parábola

La ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo con vértice en:

Dondedetermina la “apertura” de la parábola.

Ecuación de una esfera

Para una esfera con centroy radio:

Ecuación de un elipsoide

Para una esfera con centroy ejes,,:

donde:

• es el semieje en la dirección del eje.
• es el semieje en la dirección del eje.

Intersección de dos líneas

Dados dos líneas

• Línea 1:
• Línea 2:

Intersección de dos líneas (formula general)

Dados dos líneas

• :

Intersección entre una línea y un círculo

Para determinar la intersección entre una línea y un círculo:

• Círculo:
• Línea:(o en forma paramétrica como se mostró antes).

Pasos:

1. Sustituir la ecuación de la línea en la ecuación del círculo:

2. Expandir y simplificar para obtener una ecuación cuadrática en:

3. Calcular el discriminante:

• Si: dos intersecciones.
• Si: una intersección (tangente).
• Si: no hay intersección.

4. Calcular los puntos de interseccióny obtenera partir de la línea.

Intersección entre dos círculos

Para determinar la intersección entre dos círculos:

• Círculo 1:
• Círculo 2:

1. Restar las dos ecuaciones:

2. Resolver el sistema resultante para obtener las coordenadas de los puntos de intersección. Esto puede llevar a un sistema cuadrático.

3. Determina el número de intersecciones basándose en la relación entre los radios y la distancia entre los centros