Formulario estadística

Media () (poblacional)

donde:

• = número total de datos
• = cada dato

Media () (muestral)

donde:

• = número de datos en la muestra

Mediana

• Sies impar:

• Sies par:

Moda

• Valor que aparece con más frecuencia en el conjunto de datos.

Varianza () (poblacional)

Desviación estándar () (poblacional)

Varianza () (muestral)

Desviación estándar () (muestral)

Rango

Probabilidad de un evento

Probabilidad complementaria

Regla de la suma (para eventos mutuamente excluyentes)

Regla de la suma (para eventos no mutuamente excluyentes)

Regla del producto (para eventos independientes)

Regla del producto (para eventos dependientes)

dondees la probabilidad dedado queha ocurrido.

A medida que el tamaño de una muestra aumenta, la media de la muestra se acercará a la media esperada de la población.

Forma Débil

Para una secuencia de variables aleatorias independientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con una mediay varianza, la media muestral convergerá en probabilidad a la media de la población conforme el tamaño de la muestra aumenta

para cualquier.

Esto significa que la media muestral tiende a acercarse a la media poblacional, pero no hay garantía de que eso suceda en cada caso.

Forma Fuerte

Establece que la media muestral converge casi seguramente (con probabilidad 1) a la media de la población, cuando el tamaño de la muestra tienda a infinito

Esto Lsignifica que media muestral definitivamente se igualará a la media poblacional cuando el número de ensayos sea infinito.

Ejemplo

Tiramos un dado 1000 veces y calculamos la media de los resultados. A medida que el número de lanzamientos (n) aumenta, la media de los resultados se acercará a la esperanza matemática ()

Si lanzamos el dado una vez, podemos obtener cualquier número del 1 al 6, pero a medida que aumentamos el número de lanzamientos, la media de esos lanzamientos se acercará a 3.5.

Principio Fundamental de Conteo

Si una tarea puede realizarse demaneras y otra tarea demaneras, entonces las dos tareas pueden realizarse enmaneras.

Permutaciones deelementos

Permutaciones deelementos con repeticiones

Combinaciones deelementos tomados deen

Combinaciones con repetición

Expansión del binomio

Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que cumple con las siguientes características:

• Resultados Discretos: Tiene solo dos resultados posibles, que se suelen denominar éxito (generalmente representado por 1) y fracaso (representado por 0).

• Probabilidad Constante: La probabilidad de éxito pp es constante en cada ensayo. Por consiguiente, la probabilidad de fracaso es q=1−pq=1−p.

• Independencia: Los ensayos son independientes, lo que significa que el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro.

Ejemplos

• Lanzar una moneda, donde “cara” puede considerarse un éxito y “cruz” un fracaso
• Realizar un examen, donde se considera “aprobado” como éxito y “no aprobado” como fracaso
• Medir la efectividad de un tratamiento médico en el que el resultado puede ser “efectivo” (éxito) o “inefectivo” (fracaso)

Las distribuciones discretas son aquellas que describen probabilidades de variables que solo pueden tomar valores específicos y finitos, como enteros

Distribución Binomial

Modela el número de éxitos en una secuencia de ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito

donde:

• = número de ensayos
• = número de éxitos
• = probabilidad de éxito en un solo ensayo
• = coeficiente binomial

Distribución Binomial Negativa

Modela el número de fracasos antes de alcanzar un número fijo de éxitos en ensayos de Bernoulli

donde:

• es el número de éxitos requeridos
• es la probabilidad de éxito
• es el número de fracasos

Distribución Geométrica

Modela el número de ensayos hasta el primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli

donde:

• es la probabilidad de éxito
• es el número de ensayos hasta el primer éxito

Distribución Hipergeométrica

Modela el número de éxitos en una muestra de tamaño fijo extraída sin reemplazo de una población finita

donde:

• es el tamaño de la población
• es el número de éxitos en la población
• es el tamaño de la muestra

Distribución de Poisson

Modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo o en una región espacial, cuando los eventos ocurren con una tasa promedio constante

donde:

• es la tasa promedio de ocurrencia de los eventos
• es el número de eventos

Distribución Normal (Gaussiana)

Modela muchas variables en la naturaleza y la sociedad. Es simétrica y tiene forma de campana.

donde:

• es la media
• es la varianza

Función de distribución acumulativa de la normal (CDF)

Distribución Exponencial

Modela el tiempo entre eventos en un proceso de Poisson. Es usada en la teoría de la fiabilidad y tiempos de espera

donde:

• es la tasa de ocurrencia de los eventos.

Distribución Uniforme

Modela una variable que tiene la misma probabilidad de tomar cualquier valor dentro de un intervalo definido

donde:

• yson los límites del intervalo

Distribución Gamma

Generaliza la distribución exponencial. Modela el tiempo hasta que ocurreneventos en un proceso de Poisson

donde:

• es un parámetro de forma
• es un parámetro de tasa

Distribución Beta

Se usa principalmente en estadística bayesiana para modelar distribuciones de probabilidad en proporciones o probabilidades

donde:

• yson parámetros de forma
• es la función beta

Distribución Cauchy

Modela fenómenos en los que la media y la varianza no están definidas o son infinitas

donde:

• es la localización
• es el parámetro de escala

Distribución t de Student

Se utiliza para estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño y la varianza es desconocida

donde:

• son los grados de libertad, que determinan la forma de la distribución. A medida queaumenta, la distribuciónconverge a una distribución normal estándar.

Coeficiente de correlación de Pearson ()

Ecuación de la recta de regresión

donde:

• = pendiente
• = intercepto

Pendiente

donde:

• yson las desviaciones estándar dee, respectivamente.

Estimación puntual (media muestral)

Intervalo de confianza para la media

dondees el valor crítico de la distribución normal.

Prueba de hipótesis (valor p)

• Sies la hipótesis nula yes la hipótesis alternativa:

Estadístico de prueba para la media

Coeficiente de correlación de Pearson ()

Ecuación de la recta de regresión

donde:

• = pendiente
• = intercepto

Pendiente

donde:

• yson las desviaciones estándar dee, respectivamente.