Formulario cálculo numérico

Método de bisección

Aproximación de la raíz de una función continua en un intervalodonde.

Si, entonceses la raíz; si no:

• Si, entonces.
• Si, entonces.

Método de Newton-Raphson

Para encontrar la raíz de, partiendo de una aproximación inicial.

Método de la secante

Aproximación iterativa sin necesidad de calcular derivadas:

Método de la falsa posición

Similar al método de bisección, pero empleando una línea secante:

Interpolación lineal

Interpolación polinomial de Lagrange

Dado un conjunto de puntos, el polinomio interpolante es:

donde

Interpolación de Newton

donde los coeficientesse calculan usando diferencias divididas:

Método de los mínimos cuadrados

Para ajustar una recta, minimizar el error cuadrático:

Aproximación lineal:

Coeficientes de la recta:

Fórmula de Taylor

Diferencias hacia adelante

Diferencias hacia atrás

Diferencias centradas

Diferencias centradas

Regla del trapecio

Aproximación de una integral en el intervalo:

Regla de Simpson (1/3)

Aproximación con paridad en los subintervalos:

Cuadratura Gaussiana

Aproximación de una integral mediante una combinación lineal ponderada de valores de la función en puntos específicos:

dondeson los puntos de Gauss ylos pesos asociados.

Método de eliminación de Gauss

Para un sistema, se transforma la matrizen una matriz triangular superior y luego se resuelve por sustitución hacia atrás.

Factorización LU

Factorización de una matrizcomo, dondees una matriz triangular inferior yuna triangular superior. Una vez obtenidasy, el sistemase resuelve en dos pasos:

Método de Jacobi

Iteración para resolver:

Método de Gauss-Seidel

Similar al método de Jacobi, pero usa las nuevas aproximaciones a medida que se calculan:

Método de la Potencia

Para aproximar el autovalor dominante de una matriz, se itera:

donde el autovalor aproximado es:

Método QR

Descomposición QR de una matriz, dondees ortogonal yes triangular superior. Para aproximar autovalores:

Método de Euler

Para resolver, con condición inicial:

dondees el tamaño del paso.

Método de Runge-Kutta de orden 4

Para resolver:

Método de Adams-Bashforth

Método de varios pasos para resolverutilizando estimaciones anteriores:

dondeson coeficientes que dependen del número de pasos.

Método de diferencias finitas

Aproximación de ecuaciones diferenciales parciales utilizando diferencias finitas en las derivadas

Para una ecuación de tipo parabolico, como la ecuación de calor:

La discretización puede ser:

Método de elementos finitos

Utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales mediante el análisis variacional: El dominio se divide en elementos, y se utiliza funciones de forma para aproximar la solución:

dondeson las funciones de forma yes una función conocida.

Método de Galerkin

Se basa en el principio de que la solución aproximada minimiza el residuo de la ecuación diferencial en un espacio de funciones:

para toda funcióndel espacio de prueba.

Error absoluto

Definido como la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado:

Error relativo

Proporción del error absoluto al valor exacto:

Convergencia

Un método se dice que converge si, a medida que se reduce el tamaño del paso (o el número de iteraciones), la solución aproximada se acerca a la solución exacta:

En métodos numéricos, el error puede estimarse mediante la derivación de fórmulas de Taylor, donde se obtienen términos que representan el error:

Criterio de Estabilidad de Von Neumann

Para un método numérico, se considera estable si las perturbaciones en los datos iniciales no crecen exponencialmente en el tiempo. Para un método de diferencias finitas, se evalúa:

dondees la transformada de Fourier del vector de solución.

Criterio de Cauchy

Un problema es considerado bien planteado si:

1. La solución existe.
2. La solución es única.
3. La solución depende de manera continua de los datos iniciales.

Método del Gradiente

Para minimizar una función:

dondees la tasa de aprendizaje yes el gradiente de.

Método de Newton

Utiliza la segunda derivada para encontrar un mínimo:

Programación lineal (método simplex)

Para maximizar (o minimizar) una función linealsujeta a restricciones. El algoritmo itera sobre los vértices del poliedro definido por las restricciones hasta encontrar el óptimo.

Error absoluto

dondees el valor aproximado yes el valor verdadero.

Error relativo

Tasa de convergencia

Sies una secuencia que converge a, la tasa de convergenciase puede definir como:

dondees el orden de convergencia.