Límites
El límite de una función
donde
Límites laterales
Los límites laterales se definen como:
- Límite lateral izquierdo:
- Límite lateral derecho:
Propiedades de los límites
Suma
Resta
Producto
- Cociente (si
):
Constantes
Límites infinitos
Límite cuando
Límite en el infinito de una función racional
Si
- Si el grado de
es menor que el de :
- Si el grado de
es igual al de :
- Si el grado de
es mayor que el de :
Límites indeterminados
Los límites indeterminados son aquellos que no se pueden evaluar directamente y requieren simplificación. Algunas formas indeterminadas comunes son:
Regla de L’Hôpital
La regla de L’Hôpital se utiliza para resolver límites indeterminados de la forma
si el límite del lado derecho existe.
Teorema del sandwich
Si
entonces:
Límites notables
Límite de
Límite de
Límite de
Límite de
Límites de funciones trigonométricas
Límite de
Límite de
Límite de series y sucesiones
Límite de una serie infinita
Si
Prueba del límite de Cauchy
Una sucesión
Derivadas
Derivada de una función
Si este límite existe, se dice que
Derivada de una función
Reglas de derivación
Regla de la suma
Si
Regla del producto
Si
Regla del cociente
Si
Regla de la cadena
Si
Derivadas de órdenes superiores
Segunda derivada
Si
Derivada de orden
La derivada de orden
Teoremas importantes
Teorema de Rolle
Si
Teorema del valor medio
Si
Teorema de la derivada de la inversa
Si
Aplicaciones de la derivada
Máximos locales
Un punto
Mínimos locales
Un punto
Punto de inflexión
Un punto
Derivadas de funciones elementales
Constantes
Derivadas de potencias
Exponenciales
Logaritmos
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
Integración
Teorema fundamental del cálculo
Si
Propiedad de la Linealidad
Definición de integral impropia
Reglas de integración
Regla de la suma
Regla del producto por constante
Métodos de Integración
Método de Sustitución
Si
Método de Integración por Partes
Integrales de funciones elementales
Integrales Indefinidas
Constante
Potencias
Exponencial
Logaritmo
Integrales de funciones trigonométricas
Seno
Coseno
Tangente
Integrales de funciones trigonométricas inversas
Teorema de Taylor y de Maclaurin
Teorema de Taylor
Permiten aproximar funciones mediante polinomios
Si una función
donde
Forma General
La forma general del polinomio de Taylor de orden
Resto de Taylor
El término
donde
Convergencia
Si
Teorema de Maclaurin
Si una función
El Teorema de Maclaurin es un caso especial del Teorema de Taylor, donde el punto de expansión
El Operador Nabla (∇)
Definición del Operador Nabla
El operador nabla (∇), también conocido como operador del gradiente, es un símbolo que se utiliza en cálculo vectorial para representar operaciones que involucran derivadas parciales.
El operador nabla se define como:
Gradiente
El gradiente de una función escalar
El gradiente proporciona la dirección de mayor incremento de la función.
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial
La divergencia mide la “fuente” o “sumidero” de un campo vectorial.
Rotacional
El rotacional de un campo vectorial
El rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto.
Identidades
Teorema de Green
Conecta la circulación de un campo vectorial a través de una curva cerrada con la divergencia del campo en la región encerrada:
Teorema de Stokes
Conecta el rotacional de un campo vectorial con la circulación a través de una superficie:
Teorema de la Divergencia (Teorema de Gauss)
Conecta el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia en el volumen encerrado:
Transformaciones integrales
Las transformaciones integrales son técnicas matemáticas que permiten convertir una función en otra función más manejable para cierto problema.
Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier es una herramienta que permite descomponer funciones en sus frecuencias constituyentes.
La Transformada de Fourier de una función
donde:
es la representación de en el dominio de la frecuencia. es la unidad imaginaria. es la frecuencia angular.
Linealidad
Si
donde
Transformada de la derivada
Teorema de Parseval
Inversa de la transformada de Fourier
La transformada inversa está dada por:
Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace es una técnica para transformar funciones del tiempo en funciones complejas, facilitando el análisis de sistemas dinámicos.
La Transformada de Laplace de una función
donde
Linealidad
Transformada de la derivada
Teorema de convolución
Inversa de la transformada de Laplace
La transformada inversa se define como:
donde
Transformada Z
La Transformada Z es utilizada en el análisis de sistemas discretos y señales en tiempo discreto.
La Transformada Z de una secuencia
donde
Linealidad
Transformada de la convolución
Inversa de la Transformada Z
La transformada inversa se define como:
donde