Formulario algebra lineal

Una matriz con una sola columna (vector columna) o una sola fila (vector fila).

Un vector ense representa como:

Escalar

Número real que se usa para multiplicar un vector

Suma de vectores

Siy, la suma es:

Resta de vectores

Siy, la resta es:

Producto por un escalar

Siyes un escalar, el producto es:

Producto escalar o producto punto

Siy, el producto escalar es:

Producto cruz (solo en)

Siy, el producto cruz es:

Norma o magnitud de un vector

La norma de un vectores:

Proyección de un vector

La proyección de un vectorsobre un vectorse define como:

Ángulo entre vectores

El ánguloentre dos vectoresyestá dado por:

Matriz

Una colección rectangular de números dispuestos en filas y columnas.

Dimensiones

Una matriz detienefilas ycolumnas.

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada si.

Matriz transpuesta

Sies una matriz de, su transpuestaes la matriz deobtenida intercambiando filas y columnas:

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta. Es decir, una matrizes simétrica si:

Esto implica quepara todos losy.

Las matrices simétricas aparecen frecuentemente en problemas de álgebra lineal y optimización.

Ejemplo de una matriz simétrica:

Matriz identidad

La matriz identidades una matriz cuadrada de tamañoen la cual los elementos de la diagonal principal sony el resto de los elementos son.

• Esta matriz juega un rol similar al númeroen la multiplicación de números.
• ypara cualquier matrizde tamaño compatible.

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son. Los elementos de la diagonal pueden ser cualquier número.

• El producto de matrices diagonales es conmutativo:.
• El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal:;

Suma de matrices

Siyson matrices de, la suma es:

Es decir,

De forma similar

Producto por un escalar

Sies una matriz deyes un escalar:

Es decir,

Producto de matrices

Sies una matriz deyes una matriz de, el producto es:

Es decir,

Propiedades del producto de matrices

• Asociativa:
• Distributiva:
• No conmutativa: En general,

Determinante de una matriz

El determinante de una matrizdees:

Determinante de una matriz

Para una matriz:

Regla de Sarrus (para):

Propiedades del determinante

• (dondees el tamaño de la matriz)

Matriz inversa

Sies una matriz cuadrada de, su inversaes la matriz tal que:

dondees la matriz identidad de tamaño.

Matriz

Método de la matriz adjunta

dondees la matriz de cofactores transpuesta.

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como:

donde:

• es la matriz de coeficientes
• es el vector de incógnitas
• es el vector de términos independientes.

Método de eliminación de Gauss

Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante eliminación.

1. Convertir el sistema a forma escalonada.
2. Realizar sustituciones hacia atrás para encontrar los valores de las variables.

Método de Gauss-Jordan

Extensión del método de Gauss para llevar la matriz aumentada a la forma reducida

Solución por inversa de la matriz

Sies invertible, el sistematiene la solución:

Regla de Cramer

Para un sistema de ecuaciones lineales de, la solución de cada incógnitaestá dada por:

dondees la matriz obtenida reemplazando la-ésima columna depor el vector.

Sistema compatible

Compatible determinado Un sistema que tiene exactamente una solución. Compatible indeterminado Un sistema que tiene infinitas soluciones

Sistema incompatible

Un sistema que no tiene solución.

Criterios para la existencia de soluciones

Un sistema de ecuaciones tiene solución si el rango de la matriz de coeficienteses igual al rango de la matriz aumentada

Un conjunto de vectores que satisface ciertas propiedades de cerradura bajo suma y multiplicación escalar.

Combinación lineal

Un vectores una combinación lineal de los vectoressi existen escalarestales que:

Independencia lineal

Los vectoresson linealmente independientes si:

implica que.

Base de un espacio vectorial

Un conjunto de vectoresforma una base de un espacio vectorialsi:

1. Son linealmente independientes.
2. Generan todo el espacio.

Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores en cualquier base de dicho espacio.

Subespacios

Un subconjuntode un espacio vectoriales un subespacio si:

Cerradura bajo suma

Si, entonces.

Cerradura bajo multiplicación escalar

Siyes un escalar, entonces.

Existencia del vector cero

Existe un vectortal quepara todo.

Existencia de inversos aditivos

Para cada, existe untal que.

Definición de autovalores y autovectores

Sies una matriz cuadrada,es un autovalor yes un autovector asociados si:

Ecuación característica

Los autovalores de una matrizse obtienen resolviendo la ecuación característica:

dondees la matriz identidad.

Diagonalización

Una matrizes diagonalizable si existen una matriz invertibley una matriz diagonaltales que:

donde las entradas deson los autovalores dey las columnas deson los autovectores correspondientes.

Norma(Norma de-énesimo orden)

La normade un vectorestá dada por:

Norma

Norma Euclídea (Norma)

Norma infinito

La distancia entre dos vectoresyen el espacio euclidiano es:

Una funciónes una transformación lineal si cumple:

Matriz asociada

Sies una transformación lineal, entonces existe una matriztal que:

dondees un vector en

Inyectiva

es inyectiva si.

Sobreyectiva

es sobreyectiva si para cada, existe untal que.

Isomorfismo

Sies inyectiva y sobreyectiva, es un isomorfismo.

Núcleo

El conjunto de vectores que se mapean al vector cero:

Rango

El conjunto de imágenes de:

Escalado

Transformación, dondees un escalar.

Escalado No Uniforme

El escalado no uniforme permite cambiar las proporciones de una figura de manera diferente en cada eje. La matriz de transformación en 2D es:

Donde (s_x) es el factor de escalado en el eje (x) y (s_y) en el eje (y).

Rotación

Transformación de rotación en el plano:

Reflexión

La reflexión es una transformación que “voltea” una figura respecto a un eje o un plano. Se puede hacer en cualquier eje.

• Reflexión en el eje:

Esto cambia el signo de la coordenada, volcando la figura sobre el eje.

• Reflexión en el eje:

Cambia el signo de la coordenada, volcando la figura sobre el eje.

Skew (Cizalladura)

La transformación de cizalladura (o skew) cambia la forma de una figura sin alterar su área. Existen diferentes tipos de cizalladura, como en el ejeo en el eje.

• Skew en el eje: Si cizallamos respecto al eje, los puntos de la figura se desplazan horizontalmente en proporción a su coordenada.

Aquí,es el factor de cizalladura. Si, no hay cizalladura.

• Skew en el eje: De manera análoga, la cizalladura respecto al ejedesplaza los puntos verticalmente en proporción a su coordenada.

Traslación

Aunque estrictamente no es una transformación lineal, se puede representar con matrices si usamos coordenadas homogéneas (añadiendo una dimensión extra).